Статистика (контрольная работа)

по дисциплине «Статистика»

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

В результате обследования станков разных типов цеха предприятия, выполняющих одну и ту же операцию, были получены статистические данные о возрасте оборудования и об эксплуатационных расходах, связанных с работой этих станков. Возраст оборудования – целое число, для станка проработавшего менее одного года, – 1; от 1 года до 2 лет –2 и т.д. Эксплуатационные расходы фиксировались для каждого станка нарастающим итогом с начала года до момента проведения обследования. В результате выполняемой работы предполагалось определить, у какого типа станков наиболее низкие эксплуатационные расходы, как с возрастом станка меняется величина эксплуатационных расходов, с тем чтобы в последующем, при планируемой реорганизации и расширении станочного парка предприятия, произвести замену оборудования наиболее экономичным с точки зрения величины эксплуатационных расходов. Исходные данные для анализа представлены в таблице 2.

ЗАДАНИЕ

В соответствии с вариантом задания на самостоятельную  работу студент должен выполнить следующую последовательность действий:

1.    По каждому набору данных, содержащему значения двух взаимосвязанных статистических признаков (возраст оборудования и эксплуатационные расходы), определить средний возраст оборудования, средние эксплуатационные расходы, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для каждого статистического признака. Определить медиану возраста оборудования для каждого набора данных.

2.    Произвести аналитическую группировку статистических данных, выбрав в качестве факторного признака возраст оборудования, результативного признака – эксплуатационные расходы. Для проведения такой группировки рекомендуется создать четыре группы станков по возрасту, образовав четыре группы с равными интервалами. В каждой образованной по возрасту группе рассчитать средние по группе возраст и эксплуатационные расходы. Результаты группировки представить в табличном виде, а также гистограммы и кумуляты, показывающих распределение оборудования по возрасту. По результатам построения таблицы и графиков сделать выводы. Определить моду возраста оборудования расчетным путем и графически.

3.    Определить коэффициент Фехнера, построить поле корреляции, рассчитать коэффициент корреляции и определить характеристики связи между признаками: возрастом оборудования и величиной эксплуатационных издержек. Получить уравнение линии регрессии, показывающей характер связи между возрастом оборудования и эксплуатационными расходами (связь считать прямолинейной).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Среднее арифметическое вычисляется по правилу:

,

где х_i – отдельные значения признака, полученные в результате наблюдения; n – общее число наблюдений.

Величина среднего квадратического отклонения рассчитывается по формуле:

,

где х_i – отдельные значения признака;  – среднее арифметическое; n –общее число наблюдений.

Коэффициенты вариации находятся из аналитического выражения вида:

 .

Результаты выполнения группировки, показывающей структуру станочного парка по возрасту, удобно представить в виде таблицы 3.

Таблица 3.

Мода () – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности рассчитывается как:

,

где: Х_МО – нижняя граница модального интервала; h – величина интервала; f_MO –частота, соответствующая модальному интервалу; f_MO–1 – частота интервала, предшествующего модельному; f_MO+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Графически мода определяется по гистограмме распределения. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Пример построения гистограммы и моды представлен на рис.1.

Рис. 1. Гистограмма

Медиана – это значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду  распределения одна половина  ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В интервальном ряду медиана рассчитывается по формуле:

,

где Х_МО – нижняя граница модального интервала; h – величина интервала;  – порядковый номер медианы ; – накопленная частота до медианного интервала; f_Mе – частота, соответствующая медианному интервалу.

К простейшим показателям тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков – коэффициент Фехнера. Этот показатель основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних.

Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимосвязи пар признаков.

,

где К_ф – коэффициент Фехнера; n_a – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n_в – число несовпадений знаков отклонений.

Коэффициент Фехнера может принимать различные значения в пределах от –1 до +1. Если коэффициент близок к +1, то можно предположить наличие прямой связи, если –1, то наличие обратной связи.

Степень тесноты связи в статистике измеряют с помощью специального показателя, называемого коэффициентом корреляции:

,

где х – значения факторного признака; у – значения результативного признака; n – общее число наблюдений.

Под формой статистической связи понимают ту тенденцию, которая проявляется в изменении изучаемого результативного признака в связи с изменением факторного признака. Форму связи можно попытаться установить, построив в прямоугольной системе координат все множество пар значений признаков (х_i, у_i), . По оси абсцисс откладываются значения факторного признака х, по оси ординат – значения признака у. Такое графическое построение называется полем корреляции или диаграммой рассеяния, пример построения представлен на рис. 2.

Рис. 2. Диаграмма рассеяния и линия регрессии

Линия на графике (см. рис. 2), изображающая тенденцию в изменении результативного признака при возрастании факторного, называется линией регрессии. В случае прямолинейной связи линия регрессии ищется в виде уравнения прямой линии:

,

где у – теоретические значения результативного признака, образующие прямую линию; а₀, а₁ – параметры уравнения; х – значения факторного признака.

Расчет параметров уравнения производится методом наименьших квадратов, в основу которого положено требование минимальности отклонения теоретических значений у’_i от эмпирических (полученных в результате наблюдения) значений признака у_i при одном и том же значении х_i., из системы уравнений: